Sei s die Summe, p das Produkt der Zahlen.
1. Schritt:
Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen
lässt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage nicht
machen. Beispielsweise müsste er bei s=10 mit p=25 (5*5) oder 21 (3*7)
rechnen, womit P sofort s bestimmen könnte. Aufgrund der Aussage von S
können wir für s alle Möglichkeiten streichen, die sich als Summe von 2
Primzahlen darstellen lassen. Dazu gehören alle geraden Zahlen und alle
ungeraden Zahlen für die gilt: Primzahl + 2.
übrig bleiben für s: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, ...
Diese Zahlenfolge bezeichne ich hier als die Menge der möglichen Summen
MS.
2. Schritt
P zerlegt p auf jede mögliche Weise und addiert die Faktoren. Dadurch
erhält er eine Anzahl möglicher Summen. Er stellt fest: Tatsächlich, p lässt
sich auf mehr als eine Art als Produkt zweier Faktoren darstellen. Doch
warum war sich S dessen so sicher? P versetzt sich in die Lage von S,
durchdenkt den 1. Schritt und schlussfolgert:
Eine oder mehrere der Summen, die ich durch die Faktorzerlegung
herausgefunden habe, muss zu MS gehören.
Oh, welche Freude, genau eine der Summen gehört zu MS. Damit kenne ich
nun die Summe von S.
3. Schritt
S versetzt sich in die Lage von P und durchdenkt Schritt 2. Warum kennt
P meine Summe? P muss bei der Faktorzerlegung und der anschliessenden
Summierung auf eine und nur eine Summe gestossen sein, die zu MS gehört.
S untersucht nun alle möglichen Produkte, die mit seiner Summe möglich
sind, indem er Schritt 2 jedes mal anwendet. Dabei stellt er fest, dass
bei einem und nur bei einem Produkt, die Schlussfolgerung aus Schritt 2
zum Erfolg führt.
In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder
keine. Damit ist auch für S das Produkt eindeutig.
4. Schritt
Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls
nur für genau eine Zahl die Schlussfolgerung aus Schritt 3 zutrifft,
haben wir eine eindeutige Lösung.
5. Schritt
Man erhält
s = 17
p = 52
Die beiden ausgewählten Zahlen waren 4 und 13.